Упр.1242 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) х > 0;
б) х<0.

Рассмотрим уравнение и неравенства, сравнивая функции $$y=x$$ и $$y=x^{-1}=\frac{1}{x}.$$

Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$x=\frac{1}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Умножим обе части на $$x$$:

$$x^2=1,$$

откуда

$$x=\pm 1.$$

Теперь сравним $$x$$ и $$\frac{1}{x}$$.

Если $$x>0,$$ то можно умножить неравенства на $$x$$, не меняя знак:

$$x>\frac{1}{x} \iff x^2>1 \iff x>1,$$

$$x<\frac{1}{x} \iff x^2<1 \iff 0<x<1.$$

Если $$x<0,$$ то при умножении на $$x$$ знак неравенства меняется:

$$x>\frac{1}{x} \iff x^2<1 \iff -1<x<0,$$

$$x<\frac{1}{x} \iff x^2>1 \iff x<-1.$$

Итак, для всех допустимых значений $$x\ne 0$$ получаем:

$$x=\frac{1}{x} \text{ при } x=\pm 1,$$

$$x>\frac{1}{x} \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;+\infty),$$

$$x<\frac{1}{x} \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

а) При $$x>0$$:

$$x=\frac{1}{x} \text{ при } x=1,$$

$$x>\frac{1}{x} \text{ при } x>1,$$

$$x<\frac{1}{x} \text{ при } 0<x<1.$$

б) При $$x<0$$:

$$x=\frac{1}{x} \text{ при } x=-1,$$

$$x>\frac{1}{x} \text{ при } -1<x<0,$$

$$x<\frac{1}{x} \text{ при } x<-1.$$

Ответ

$$x=\pm 1.$$

а) При $$x>0$$: $$x=\frac{1}{x}$$ при $$x=1$$; $$x>\frac{1}{x}$$ при $$x>1$$; $$x<\frac{1}{x}$$ при $$0<x<1.$$

б) При $$x<0$$: $$x=\frac{1}{x}$$ при $$x=-1$$; $$x>\frac{1}{x}$$ при $$-1<x<0$$; $$x<\frac{1}{x}$$ при $$x<-1.$$