Упр.95 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a+1)/(a^3-1) — 1/(a^2+a+1);
2) (a^2+4)/(a^3+8) — 1/(a+2);
3) (a+b)/(a^2-ab+b^2 ) — 1/(a+b);
4) (m^2-3m+9)/(m^3-27) — 1/(m-3).
Выяснить, при каких значениях y выражение принимает отрицательные значения:
1) 5-2/3 y;
2) 3/4-2y;
3) (y-2)/3+1/3;
4) (8y-3)/5-2/5;
5) (3y-5)/2-y/2;
6) (4-5y)/6-y/6.

1. $$\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$$
   
   Разложим разность кубов:
   $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).$$
   Тогда
   $$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1}{a^2+a+1}= \frac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}= \frac{2}{a^3-1}.$$

2. $$\frac{a^2+4}{a^3+8}-\frac{1}{a+2}$$
   
   Разложим сумму кубов:
   $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4).$$
   Тогда
   $$\frac{a^2+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{1}{a+2}= \frac{a^2+4-(a^2-2a+4)}{a^3+8}= \frac{2a}{a^3+8}.$$

3. $$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}-\frac{1}{a+b}$$
   
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}= \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+ab-b^2}{a^3+b^3}= \frac{3ab}{a^3+b^3}.$$

4. $$\frac{m^2-3m+9}{m^3-27}-\frac{1}{m-3}$$
   
   Разложим разность кубов:
   $$m^3-27=(m-3)(m^2+3m+9).$$
   Тогда
   $$\frac{m^2-3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)}-\frac{1}{m-3}= \frac{m^2-3m+9-(m^2+3m+9)}{m^3-27}= \frac{-6m}{m^3-27}= \frac{6m}{27-m^3}.$$

Выясним, при каких значениях $y$ выражение принимает отрицательные значения:

1. $$5-\frac{2}{3}y<0$$
   $$-\frac{2}{3}y<-5$$
   $$y>\frac{15}{2}.$$

2. $$\frac{3}{4}-2y<0$$
   $$-2y<-\frac{3}{4}$$
   $$y>\frac{3}{8}.$$

3. $$\frac{y-2}{3}+\frac{1}{3}<0$$
   $$\frac{y-1}{3}<0$$
   $$y<1.$$

4. $$\frac{8y-3}{5}-\frac{2}{5}<0$$
   $$\frac{8y-5}{5}<0$$
   $$8y<5$$
   $$y<\frac{5}{8}.$$

5. $$\frac{3y-5}{2}-\frac{y}{2}<0$$
   $$\frac{2y-5}{2}<0$$
   $$2y<5$$
   $$y<\frac{5}{2}.$$

6. $$\frac{4-5y}{6}-\frac{y}{6}<0$$
   $$\frac{4-6y}{6}<0$$
   $$4-6y<0$$
   $$y>\frac{2}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{2}{a^3-1}$$; 2) $$\frac{2a}{a^3+8}$$; 3) $$\frac{3ab}{a^3+b^3}$$; 4) $$\frac{6m}{27-m^3}$$.
1) $$y>\frac{15}{2}$$; 2) $$y>\frac{3}{8}$$; 3) $$y<1$$; 4) $$y<\frac{5}{8}$$; 5) $$y<\frac{5}{2}$$; 6) $$y>\frac{2}{3}$$.