Упр.916 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a+1/a+b+1/b?2vab+2/vab;
2) 1/a+1/b+1?1/va+1/vb+1/vab.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}-2\sqrt{ab}-\frac{2}{\sqrt{ab}} $$
$$ =(a-2\sqrt{ab}+b)+\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{b}\right) $$
$$ =(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 \ge 0. $$

Значит,

$$ a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}}. $$

2) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1-\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{ab}} $$
$$ =\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\left(\frac{1}{b}-\frac{2}{\sqrt{b}}+1\right)+\left(1-\frac{1}{\sqrt{ab}}\right) $$

Удобнее умножить неравенство на $2$:

$$ \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+2-\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{2}{\sqrt{b}}-\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge 0. $$

Тогда

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-1\right)^2\ge 0. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\ge \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}. $$

Ответ

$$ a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}}, $$
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\ge \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}. $$