Упр.897 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что при всех действительных значениях x справедливо неравенство 1/3?(x^2-x+1)/(x^2+x+1)?3.

Рассмотрим выражение $$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.$$

Сначала проверим знаменатель:

$$x^2+x+1=0,$$

$$D=1-4=-3<0.$$

Значит, $$x^2+x+1>0$$ при всех действительных $$x$$.

Докажем обе части неравенства.

1) Докажем, что

$$\frac{1}{3}\le \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.$$

Так как знаменатель положителен, умножим на $$3(x^2+x+1)$$:

$$x^2+x+1\le 3(x^2-x+1).$$

$$x^2+x+1\le 3x^2-3x+3,$$

$$0\le 2x^2-4x+2,$$

$$0\le 2(x-1)^2.$$

Это верно при любых $$x$$.

2) Докажем, что

$$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\le 3.$$

Так как знаменатель положителен, умножим на $$x^2+x+1$$:

$$x^2-x+1\le 3(x^2+x+1).$$

$$x^2-x+1\le 3x^2+3x+3,$$

$$0\le 2x^2+4x+2,$$

$$0\le 2(x+1)^2.$$

Это также верно при любых $$x$$.

Следовательно,

$$\frac{1}{3}\le \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\le 3$$

при всех действительных значениях $$x$$.

Ответ

$$\frac{1}{3}\le \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\le 3.$$