Упр.741 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (2x^2+x)/(2x-9)•(8x/(4x^2-1)+9/(2x^2-11x+5)+9/(5+9x-2x^2 ))-10/(x-5);
2) (2y+13)/(2y-5) :(2y/(2y^2+3y-20)+8/(y^2-16)-3/(2y^2-13y+20)).
Решить уравнение:
1) x^4+x^2-2=0;
2) x^4-x^2-12=0;
3) x^4+3x^2+2=0;
4) x^4+5x^2+6=0.

1. Упростим выражение

   $$\frac{2x^2+x}{2x-9}\left(\frac{8x}{4x^2-1}+\frac{9}{2x^2-11x+5}+\frac{9}{5+9x-2x^2}\right)-\frac{10}{x-5}.$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1),$$
   $$2x^2-11x+5=(2x-1)(x-5),$$
   $$5+9x-2x^2=-(2x-5)(x+1).$$

   После приведения к общему знаменателю и сокращения получаем:

   $$\frac{2x}{x-5}-\frac{10}{x-5}=\frac{2x-10}{x-5}=\frac{2(x-5)}{x-5}=2.$$

   Следовательно, значение выражения равно $$2$$.

2. Упростим выражение

   $$\frac{2y+13}{2y-5}:\left(\frac{2y}{2y^2+3y-20}+\frac{8}{y^2-16}-\frac{3}{2y^2-13y+20}\right).$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$2y^2+3y-20=(2y-5)(y+4),$$
   $$y^2-16=(y-4)(y+4),$$
   $$2y^2-13y+20=(2y-5)(y-4).$$

   Тогда

   $$\frac{2y}{(2y-5)(y+4)}+\frac{8}{(y-4)(y+4)}-\frac{3}{(2y-5)(y-4)}$$
   $$=\frac{2y(y-4)+8(2y-5)-3(y+4)}{(2y-5)(y-4)(y+4)}$$
   $$=\frac{2y^2+5y-52}{(2y-5)(y-4)(y+4)}.$$

   Разложим числитель:

   $$2y^2+5y-52=(2y+13)(y-4).$$

   Тогда

   $$\frac{2y+13}{2y-5}:\frac{(2y+13)(y-4)}{(2y-5)(y-4)(y+4)}=y+4.$$

   Следовательно, значение выражения равно $$y+4$$.

3. Решим уравнение $$x^4+x^2-2=0$$.

   Сделаем замену: $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2+t-2=0,$$
   $$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=-2,$$ $$t_2=1.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$x^2=-2$$ — корней нет;
   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

4. Решим уравнение $$x^4-x^2-12=0$$.

   Положим $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2-t-12=0,$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+3\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=4,$$ $$t_2=-3.$$

   Тогда

   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2;$$
   $$x^2=-3$$ — корней нет.

5. Решим уравнение $$x^4+3x^2+2=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2+3t+2=0,$$
   $$\left(t+1\right)\left(t+2\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=-1,$$ $$t_2=-2.$$

   Оба значения отрицательны, значит, действительных корней нет.

6. Решим уравнение $$x^4+5x^2+6=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$t^2+5t+6=0,$$
   $$\left(t+2\right)\left(t+3\right)=0.$$

   Отсюда $$t_1=-2,$$ $$t_2=-3.$$

   Оба значения отрицательны, значит, действительных корней нет.

Ответ

1) $$2$$;
2) $$y+4$$;
3) $$x=\pm1$$;
4) $$x=\pm2$$;
5) корней нет;
6) корней нет.