Упр.576 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {((x-1)(y-1)=2
x+y=5)+
2) {((x-2)(y+1)=1
x-y=3)+
Несколько человек обедали вместе и по счету должны были уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?

1. $$ \begin{cases} (x-1)(y-1)=2 \\ x+y=5 \end{cases} $$

   Раскроем скобки в первом уравнении:

   $$ xy-x-y+1=2 $$

   $$ xy-(x+y)=1 $$

   Так как $$x+y=5$$, получаем:

   $$ xy-5=1 $$

   $$ xy=6 $$

   Теперь имеем систему:

   $$ \begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases} $$

   Подходящие числа — корни уравнения $$t^2-5t+6=0$$:

   $$ (t-2)(t-3)=0 $$

   $$ t=2 \text{ или } t=3 $$

   Значит,

   $$ (x;y)=(2;3) \text{ или } (3;2) $$

2. $$ \begin{cases} (x-2)(y+1)=1 \\ x-y=3 \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ x=3+y $$

   Подставим в первое:

   $$ (3+y-2)(y+1)=1 $$

   $$ (y+1)^2=1 $$

   $$ y+1=1 \text{ или } y+1=-1 $$

   Отсюда:

   $$ y=0 \text{ или } y=-2 $$

   Тогда

   $$ x=3+y $$

   получаем:

   $$ (x;y)=(3;0) \text{ или } (1;-2) $$

3. Пусть обедало $$x$$ человек, а каждый должен был заплатить по $$y$$ шиллингов. Тогда

   $$ xy=175 $$

   Так как двое не заплатили, то оставшиеся $$x-2$$ человека заплатили по $$y+10$$ шиллингов:

   $$ (x-2)(y+10)=175 $$

   Из первого уравнения $$y=\dfrac{175}{x}$$, но удобнее раскрыть скобки во втором:

   $$ xy+10x-2y-20=175 $$

   Так как $$xy=175$$, получаем:

   $$ 10x-2y-20=0 $$

   $$ 5x-y=10 $$

   Следовательно,

   $$ y=5x-10 $$

   Подставим в $$xy=175$$:

   $$ x(5x-10)=175 $$

   $$ 5x^2-10x-175=0 $$

   $$ x^2-2x-35=0 $$

   $$ (x-7)(x+5)=0 $$

   $$ x=7 \text{ или } x=-5 $$

   Отрицательное значение не подходит, значит, $$x=7$$.

Ответ

1) $$ (2;3),\ (3;2) $$

2) $$ (3;0),\ (1;-2) $$

3) $$7$$ человек.