Упр.2.62 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

б) Покажите геометрически, что если a, b и c — положительные числа, то v(a^2+b^2+c^2 ) < a+b+c.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$, где $$a>0$$, $$b>0$$. Его гипотенуза равна

$$\sqrt{a^2+b^2}.$$

По неравенству треугольника гипотенуза меньше суммы катетов:

$$\sqrt{a^2+b^2}<a+b.$$

Проверка на примере:

$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5<7=3+4.$$

Значит, $$\sqrt{a^2+b^2}<a+b$$ при $$a>0$$, $$b>0$$.

б) Построим прямоугольный параллелепипед с рёбрами $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда диагональ основания равна

$$BC=\sqrt{a^2+b^2}.$$

А пространственная диагональ равна

$$CD=\sqrt{BC^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BCD$$ по неравенству треугольника:

$$CD<BC+c.$$

Кроме того, из пункта а) имеем

$$BC=\sqrt{a^2+b^2}<a+b.$$

Тогда

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=CD<BC+c<a+b+c.$$

Следовательно,

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c.$$

Ответ

$$\sqrt{a^2+b^2}<a+b,$$

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}<a+b+c.$$