Упр.118 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) v((va+6)^2-24va) +v((va-7)^2+28va) ;
2) v(c+2v(c+5)+6)+v(c-2v(c+5)+6).

1) Преобразуем подкоренные выражения:

$$ \sqrt{(\sqrt a+6)^2-24\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-7)^2+28\sqrt a} $$
$$ =\sqrt{a+12\sqrt a+36-24\sqrt a}+\sqrt{a-14\sqrt a+49+28\sqrt a} $$
$$ =\sqrt{a-12\sqrt a+36}+\sqrt{a+14\sqrt a+49} $$
$$ =\sqrt{(\sqrt a-6)^2}+\sqrt{(\sqrt a+7)^2} =|\sqrt a-6|+|\sqrt a+7|. $$

Так как $$\sqrt a+7>0$$ при любом допустимом $$a$$, то $$|\sqrt a+7|=\sqrt a+7$$.

Рассмотрим два случая:

если $$a\ge 36$$, то $$|\sqrt a-6|=\sqrt a-6$$, значит
$$ |\sqrt a-6|+|\sqrt a+7|=(\sqrt a-6)+(\sqrt a+7)=2\sqrt a+1; $$

если $$a<36$$, то $$|\sqrt a-6|=6-\sqrt a$$, значит
$$ |\sqrt a-6|+|\sqrt a+7|=(6-\sqrt a)+(\sqrt a+7)=13. $$

2) Аналогично:

$$ \sqrt{c+2\sqrt{c+5}+6}+\sqrt{c-2\sqrt{c+5}+6} $$
$$ =\sqrt{(c+5)+2\sqrt{c+5}+1}+\sqrt{(c+5)-2\sqrt{c+5}+1} $$
$$ =\sqrt{(\sqrt{c+5}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{c+5}-1)^2} =|\sqrt{c+5}+1|+|\sqrt{c+5}-1|. $$

Так как $$\sqrt{c+5}+1>0$$, то $$|\sqrt{c+5}+1|=\sqrt{c+5}+1$$.

Рассмотрим два случая:

если $$c\ge -4$$, то $$\sqrt{c+5}\ge 1$$ и
$$ |\sqrt{c+5}+1|+|\sqrt{c+5}-1| =(\sqrt{c+5}+1)+(\sqrt{c+5}-1)=2\sqrt{c+5}; $$

если $$c<-4$$, то $$\sqrt{c+5}<1$$ и
$$ |\sqrt{c+5}+1|+|\sqrt{c+5}-1| =(\sqrt{c+5}+1)+(1-\sqrt{c+5})=2. $$

Ответ

1) $$\begin{cases} 2\sqrt a+1, & a\ge 36,\\ 13, & a<36; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 2\sqrt{c+5}, & c\ge -4,\\ 2, & c<-4. \end{cases}$$