Упр.166 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) (x^2-9)^2-4(x^2-9)+3=0;
2) (x+5)^4-10(x+5)^2+9=0;
3) (x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=0;
4) (x^2+4x-4)^2-9x^2-36x+44=0;
5) (x^2+x+1)(x^2+x+2)=12;
6) (x^4-2x^2 )^2-14(x^4-2x^2 )=15.
Пусть $$x^2-9=t.$$ Тогда
$$t^2-4t+3=0$$
$$t_1+t_2=4,\quad t_1t_2=3,$$
$$t_1=3,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$x^2-9=3 \quad \text{или} \quad x^2-9=1,$$
$$x^2=12 \quad \text{или} \quad x^2=10,$$
$$x=\pm 2\sqrt{3} \quad \text{или} \quad x=\pm \sqrt{10}.$$
Пусть $$\left(x+5\right)^2=t.$$ Тогда
$$t^2-10t+9=0$$
$$t_1+t_2=10,\quad t_1t_2=9,$$
$$t_1=9,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$\left(x+5\right)^2=9 \quad \text{или} \quad \left(x+5\right)^2=1,$$
$$x^2+10x+16=0 \quad \text{или} \quad x^2+10x+24=0.$$
Отсюда
$$x=-8,\,-2 \quad \text{или} \quad x=-6,\,-4.$$
Пусть $$x^2+3x=t.$$ Тогда
$$t^2-2t-8=0$$
$$t_1+t_2=2,\quad t_1t_2=-8,$$
$$t_1=4,\quad t_2=-2.$$
Тогда
$$x^2+3x=4 \quad \text{или} \quad x^2+3x=-2,$$
$$x^2+3x-4=0 \quad \text{или} \quad x^2+3x+2=0.$$
Отсюда
$$x=-4,\;1 \quad \text{или} \quad x=-2,\;-1.$$
Преобразуем уравнение:
$$\left(x^2+4x-4\right)^2-9x^2-36x+44=0$$
$$\left(x^2+4x-4\right)^2-9\left(x^2+4x-4\right)+8=0.$$
Пусть $$x^2+4x-4=t.$$ Тогда
$$t^2-9t+8=0$$
$$t_1+t_2=9,\quad t_1t_2=8,$$
$$t_1=8,\quad t_2=1.$$
Тогда
$$x^2+4x-4=8 \quad \text{или} \quad x^2+4x-4=1,$$
$$x^2+4x-12=0 \quad \text{или} \quad x^2+4x-5=0.$$
Отсюда
$$x=-6,\;2 \quad \text{или} \quad x=-5,\;1.$$
Пусть $$x^2+x+1=t.$$ Тогда
$$t(t+1)=12$$
$$t^2+t-12=0$$
$$t_1+t_2=-1,\quad t_1t_2=-12,$$
$$t_1=-4,\quad t_2=3.$$
Тогда
$$x^2+x+1=-4 \quad \text{или} \quad x^2+x+1=3,$$
$$x^2+x+5=0 \quad \text{или} \quad x^2+x-2=0.$$
Первое уравнение действительных корней не имеет, а из второго получаем
$$x=-2,\;1.$$
Пусть $$x^4-2x^2=t.$$ Тогда
$$t^2-14t=15$$
$$t^2-14t-15=0$$
$$t_1+t_2=14,\quad t_1t_2=-15,$$
$$t_1=15,\quad t_2=-1.$$
Тогда
$$x^4-2x^2=15 \quad \text{или} \quad x^4-2x^2=-1.$$
1) Пусть $$x^2=b.$$ Тогда
$$b^2-2b-15=0,$$
$$b_1=5,\quad b_2=-3.$$
Значит, $$x^2=5$$ или $$x^2=-3.$$
Отсюда $$x=\pm \sqrt{5}.$$
2) Пусть $$x^2=a.$$ Тогда
$$a^2-2a+1=0,$$
$$\left(a-1\right)^2=0,$$
$$a=1.$$
Следовательно, $$x^2=1,$$ откуда $$x=\pm 1.$$
Ответ
1) $$x=\pm 2\sqrt{3},\ \pm \sqrt{10}$$; 2) $$x=-8,\,-6,\,-4,\,-2$$; 3) $$x=-4,\,-2,\,-1,\;1$$; 4) $$x=-6,\,-5,\;1,\;2$$; 5) $$x=-2,\;1$$; 6) $$x=\pm \sqrt{5},\ \pm 1$$.
