Упр.986 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

а) система
x+y=a,
x-3y=b;
б) система
x+y=a,
x/b+y/c=d;
в) система
x+y=a,
x/b-y/c=d.

а) Сложим уравнения системы:

$$ \begin{cases} x+y=a,\\ x-3y=b \end{cases} $$

Получаем:

$$ 4y=a-b,\qquad y=\frac{a-b}{4}. $$

Тогда

$$ x=a-y=a-\frac{a-b}{4}=\frac{3a+b}{4}. $$

Значит,

$$ (x;y)=\left(\frac{3a+b}{4};\frac{a-b}{4}\right). $$

При любых значениях $$a$$ и $$b$$ система имеет единственное решение.

б) Умножим второе уравнение на $$bc$$:

$$ \begin{cases} x+y=a,\\ \frac{x}{b}+\frac{y}{c}=d \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} x+y=a,\\ xc+by=bcd \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на $$c$$:

$$ xc+yc=ac $$

$$ yc-by=ac-bcd $$

$$ y(c-b)=c(a-bd). $$

Если $$c\ne b$$, то

$$ y=\frac{ac-bcd}{c-b},\qquad x=a-y=\frac{bcd-ab}{c-b}. $$

Если $$c=b$$, то система принимает вид

$$ \begin{cases} x+y=a,\\ \frac{x+y}{b}=d \end{cases} $$

то есть $$a=bd$$. Тогда решений бесконечно много: $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$. Если $$a\ne bd$$, решений нет.

в) Умножим второе уравнение на $$bc$$:

$$ \begin{cases} x+y=a,\\ \frac{x}{b}-\frac{y}{c}=d \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} x+y=a,\\ xc-by=bcd \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$c$$ и сложим с полученным:

$$ xc+yc=ac $$

$$ xc-by=bcd $$

$$ y(c+b)=c(a-bd). $$

Если $$c\ne -b$$, то

$$ y=\frac{ac-bcd}{c+b},\qquad x=a-y=\frac{bcd+ab}{c+b}. $$

Если $$c=-b$$, то система сводится к условию $$a=-bd$$. Тогда решений бесконечно много: $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$. Если $$a\ne -bd$$, решений нет.

Ответ

а) $$\left(\frac{3a+b}{4};\frac{a-b}{4}\right)$$, при любых $$a$$ и $$b$$.

б) Если $$c\ne b$$, то $$\left(\frac{bcd-ab}{c-b};\frac{ac-bcd}{c-b}\right)$$; если $$c=b$$ и $$a=bd$$, то $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$; если $$c=b$$ и $$a\ne bd$$, решений нет.

в) Если $$c\ne -b$$, то $$\left(\frac{bcd+ab}{c+b};\frac{ac-bcd}{c+b}\right)$$; если $$c=-b$$ и $$a=-bd$$, то $$x$$ — любое число, $$y=a-x$$; если $$c=-b$$ и $$a\ne -bd$$, решений нет.