Упр.264 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Муравин, Муравина 7 класс, Дрофа: 264. Среди делителей числа 1 · 2 · 3 · … · 16 · 17 найдите наибольший, который является: 1) кубом натурального числа; 2) квадратом натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 muravin7 264 715

Разложим произведение на простые множители:

$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 16\cdot 17=2^{15}\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17.$$

1) Чтобы делитель был кубом натурального числа, показатели степеней всех простых множителей должны быть кратны $3$. Берём наибольшие такие показатели:

$$2^{15}\cdot 3^6\cdot 5^3=\left(2^5\cdot 3^2\cdot 5\right)^3.$$

Тогда

$$2^5\cdot 3^2\cdot 5=32\cdot 9\cdot 5=1440,$$

значит, наибольший кубический делитель равен $$1440^3.$$

2) Чтобы делитель был квадратом натурального числа, показатели степеней всех простых множителей должны быть кратны $2$. Берём наибольшие чётные показатели:

$$2^{14}\cdot 3^6\cdot 5^2\cdot 7^2=\left(2^7\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\right)^2.$$

Тогда

$$2^7\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7=128\cdot 27\cdot 35=120960,$$

значит, наибольший квадратный делитель равен $$120960^2.$$

Ответ

1) $$1440^3$$; 2) $$120960^2$$.