Упр.37.18 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) Два ученика задумали по двузначному числу, сумма которых равна 100. Первый увеличил своё число в два раза и прибавил к нему 5, а второй увеличил своё число в три раза и вычел из него 20. Интересно, что у ребят получились одинаковые результаты. Какие числа они задумали?
б) Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 45 больше исходного. Найдите эти числа.

а) Пусть первый ученик задумал число $$x$$, а второй — $$y$$. Тогда по условию

$$x+y=100,$$

а после преобразований они получили одинаковые результаты:

$$2x+5=3y-20.$$

Составим и решим систему:

$$ \begin{cases} x+y=100,\\ 2x-3y=-25. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$ \begin{cases} 3x+3y=300,\\ 2x-3y=-25. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$5x=275,$$

$$x=55.$$

Тогда

$$y=100-55=45.$$

Значит, числа: $$55$$ и $$45$$.

б) Пусть цифры двузначного числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$a+b=11.$$

Исходное число равно $$10a+b$$, а число, записанное с переставленными цифрами, — $$10b+a$$. По условию:

$$10b+a=10a+b+45.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=11,\\ 9b-9a=45. \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на $$9$$:

$$b-a=5.$$

Сложим уравнения системы:

$$ (a+b)+(b-a)=11+5, $$

$$2b=16,$$

$$b=8.$$

Тогда

$$a=11-8=3.$$

Искомое число: $$38$$. После перестановки цифр получаем $$83$$.

Ответ

а) $$55$$ и $$45$$; б) $$38$$ и $$83$$.