Упр.43.8 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

б) Используя теорему 2 в §43 учебника, докажите, что при умножении каждого числа ряда на постоянное число b дисперсия ряда умножается на b2.

а) Пусть даны числа $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$$, их среднее равно $$\overline{x_n}.$$

Дисперсия ряда:

$$D=\frac{(x_1-\overline{x_n})^2+(x_2-\overline{x_n})^2+\cdots+(x_n-\overline{x_n})^2}{n}.$$

После прибавления к каждому числу ряда постоянного числа $$a$$ получим числа

$$x_1+a,\; x_2+a,\; x_3+a,\; \ldots,\; x_n+a.$$

Их среднее значение:

$$\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+\cdots+(x_n+a)}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}+a=\overline{x_n}+a.$$

Тогда дисперсия нового ряда равна

$$ \frac{(x_1+a-(\overline{x_n}+a))^2+(x_2+a-(\overline{x_n}+a))^2+\cdots+(x_n+a-(\overline{x_n}+a))^2}{n} $$

$$ =\frac{(x_1-\overline{x_n})^2+(x_2-\overline{x_n})^2+\cdots+(x_n-\overline{x_n})^2}{n}=D. $$

Значит, при увеличении каждого числа ряда на постоянное число $$a$$ дисперсия не изменяется.

б) Пусть теперь каждое число ряда умножили на постоянное число $$b$$. Получим числа

$$bx_1,\; bx_2,\; bx_3,\; \ldots,\; bx_n.$$

Их среднее значение:

$$\frac{bx_1+bx_2+\cdots+bx_n}{n}=b\cdot\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=b\overline{x_n}.$$

Дисперсия нового ряда равна

$$ \frac{(bx_1-b\overline{x_n})^2+(bx_2-b\overline{x_n})^2+\cdots+(bx_n-b\overline{x_n})^2}{n} $$

$$ =\frac{b^2(x_1-\overline{x_n})^2+b^2(x_2-\overline{x_n})^2+\cdots+b^2(x_n-\overline{x_n})^2}{n} $$

$$ =b^2\cdot\frac{(x_1-\overline{x_n})^2+(x_2-\overline{x_n})^2+\cdots+(x_n-\overline{x_n})^2}{n} =b^2D. $$

Значит, при умножении каждого числа ряда на постоянное число $$b$$ дисперсия умножается на $$b^2$$.

Ответ

а) Дисперсия не изменяется. б) Дисперсия умножается на $$b^2$$.