Практические и прикладные задачи Глава 4 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

2. Сторона первого квадрата на 13 см больше второго квадрата, а площадь первого квадрата на 351 см^2 больше площади второго квадрата. Найти сторону первого квадрата.
3. Площадь земельного участка, имеющего форму квадрата, на 700 м^2 больше площади другого участка, имеющего прямоугольную форму. Длина участка прямоугольной формы на 10 м больше, а ширина на 25 м меньше стороны участка, имеющего форму квадрата. Найти длину и ширину участка прямоугольной формы.
4. Числовое значение расстояния h (выраженного в метрах), которое пролетает свободно падающее тело за время t (выраженное в секундах) от начала падения, на практике часто вычисляют по формуле h=5t^2. Какое расстояне пролетит свободно падающее тело с момента времени T (от начала движения) за 5 с?
5. Даны три последовательных натуральных числа. Произведение первого и второго чисел на 34 меньше квадрата третьего. Найти эти числа.
6. Доказать, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.
7. Доказать, что сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату большего числа.
8. Упростить выражение (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)(2^32+1).
9. Разность кубов каких двух послеовательных натуральных чисел равна 331?

1. Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда длина равна $$x+5$$ см. После увеличения получим стороны $$x+2$$ и $$x+9$$.

   По условию площадь увеличилась на $$42$$ см², значит:

   $$x(x+5)+42=(x+2)(x+9)$$

   $$x^2+5x+42=x^2+11x+18$$

   $$5x+42=11x+18$$

   $$24=6x$$

   $$x=4$$

   Тогда длина прямоугольника:

   $$x+5=4+5=9$$

2. Пусть сторона второго квадрата равна $$x$$ см, тогда сторона первого равна $$x+13$$ см.

   По условию разность площадей равна $$351$$ см²:

   $$ (x+13)^2-x^2=351 $$

   $$ x^2+26x+169-x^2=351 $$

   $$ 26x+169=351 $$

   $$ 26x=182 $$

   $$ x=7 $$

   Тогда сторона первого квадрата:

   $$x+13=7+13=20$$ см.

3. Пусть сторона квадратного участка равна $$x$$ м. Тогда длина прямоугольного участка равна $$x+10$$ м, а ширина — $$x-25$$ м.

   По условию площадь квадрата на $$700$$ м² больше площади прямоугольника:

   $$x^2-(x+10)(x-25)=700$$

   $$x^2-(x^2-15x-250)=700$$

   $$15x+250=700$$

   $$15x=450$$

   $$x=30$$

   Тогда:

   $$x+10=40$$ м, $$x-25=5$$ м.

4. Если от начала падения прошло $$T$$ с, то за следующие $$5$$ с тело пролетит:

   $$h=5\bigl((T+5)^2-T^2\bigr)$$

   $$h=5(T^2+10T+25-T^2)$$

   $$h=50T+125$$

5. Пусть три последовательных натуральных числа: $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$.

   По условию:

   $$n(n+1)+34=(n+2)^2$$

   $$n^2+n+34=n^2+4n+4$$

   $$3n=30$$

   $$n=10$$

   Значит, числа: $$10$$, $$11$$, $$12$$.

6. Пусть нечетное число равно $$2n+1$$.

   Тогда:

   $$ (2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1) $$

   Произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, так как это произведение двух последовательных чисел, одно из которых чётное. Значит, $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.

7. Пусть даны два последовательных натуральных числа: $$n$$ и $$n+1$$.

   Тогда:

   $$n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)^2$$

   Что и требовалось доказать.

8. Используем формулу:

   $$a^2-1=(a-1)(a+1)$$

   Тогда:

   $$ (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$

   $$ =(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$

   $$ =(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$

   $$ =(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$

   $$ =(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$

   $$ =(2^{32}-1)(2^{32}+1)=2^{64}-1 $$

9. Пусть искомые последовательные числа: $$n$$ и $$n+1$$.

   Составим уравнение:

   $$ (n+1)^3-n^3=331 $$

   $$ 3n^2+3n+1=331 $$

   $$ 3n^2+3n=330 $$

   $$ n^2+n=110 $$

   $$ n^2+n-110=0 $$

   $$ (n-10)(n+11)=0 $$

   Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=10$$.

   Искомые числа: $$10$$ и $$11$$.

Ответ

1. $$9$$ см и $$4$$ см
2. $$20$$ см
3. $$40$$ м и $$5$$ м
4. $$50T+125$$ м
5. $$10, 11, 12$$
6. доказано
7. доказано
8. $$2^{64}-1$$
9. $$10$$ и $$11$$