Это надо знать Глава 8 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

2. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Какие из следующих уравнений являются линейными:
x + y = 0, 1/x — 1/y = 3, 2x — 5y = 8, y — x^2 = 6?
3. Что является графиком уравнения ах + by = с, где хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от 0?
4. Как решить уравнение 5х + 2у = 9 относительно у? Найдите угловой коэффициент прямой, заданной этим уравнением.
5. Прямые, изображённые на рисунке 8.18, могут быть заданы уравнениями вида у = kх. Для каждой прямой укажите знак коэффициента k.
6. Каков геометрический смысл коэффициента l в уравнении у = kx + l? В какой точке пересекает ось у прямая у = 3х — 10?
7, Сформулируйте условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида y = kx + l. Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые.
8. Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными? Является ли решением системы уравнении {x + 2y = -5; x — y = 7; пара чисел (3; -4); (-1; -2)?
9. На примере системы уравнении {2x — y = 3; 7x + 2у = 16; расскажите, как решают систему методом сложения.
10. На примере системы уравнений {3x — 4y = 5; x — 3y = 0, расскажите, как решают систему методом подстановки.
11. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:
1) {3x — y = 5; 6x — 2y = 10;
2) {4x — y = 8; 8x — y = 8;
3) {y = 3x + 9; 6x — 2y = -24.

1. Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

   Для уравнения $$4x-y=4$$ получаем $$y=4x-4.$$

   Возьмём, например, $$x=0,\; y=-4;$$ $$x=-1,\; y=-8;$$ $$x=1,\; y=0.$$

2. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $$ax+by=c,$$ где $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ — произвольные числа.

   Из данных уравнений линейные:

   $$x+y=0,$$ $$2x-5y=8.$$

3. Графиком уравнения $$ax+by=c,$$ где хотя бы один из коэффициентов $$a$$ и $$b$$ отличен от нуля, является прямая.

4. Выразим $$y$$ через $$x$$:

   $$5x+2y=9$$

   $$2y=9-5x$$

   $$y=-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}.$$

   Угловой коэффициент прямой: $$k=-\frac{5}{2}=-2{,}5.$$

5. Для прямой вида $$y=kx$$ знак коэффициента $$k$$ определяет наклон прямой:

   если прямая возрастает, то $$k>0,$$ если убывает, то $$k<0.$$

   Следовательно:

   прямая a — $$k<0,$$

   прямая b — $$k>0,$$

   прямая c — $$k>0,$$

   прямая d — $$k<0.$$

6. Коэффициент $$l$$ в уравнении $$y=kx+l$$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $$y.$$

   Для прямой $$y=3x-10$$ точка пересечения с осью $$y$$ имеет координаты $$\left(0;\,-10\right).$$

7. Две прямые вида $$y=kx+l$$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

   $$k_1=k_2.$$

   Примеры:

   $$y=\frac{2}{3}x+5$$ и $$y=\frac{2}{3}x-10,$$

   $$y=-3x-\frac{1}{2}$$ и $$y=-3x+7.$$

8. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением каждого из уравнений системы.

   Проверим пару $$\left(3;\,-4\right):$$

   $$3+2\cdot(-4)=-5,$$ $$3-(-4)=7.$$

   Значит, $$\left(3;\,-4\right)$$ — решение системы.

   Проверим пару $$\left(-1;\,-2\right):$$

   $$-1+2\cdot(-2)=-5,$$ $$-1-(-2)=1.$$

   Значит, $$\left(-1;\,-2\right)$$ не является решением системы.

9. Решим систему методом сложения:

   $$ \begin{cases} 2x-y=3, \\ 7x+2y=16. \end{cases} $$

   Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$ \begin{cases} 4x-2y=6, \\ 7x+2y=16. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$11x=22,$$ откуда $$x=2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2\cdot 2-y=3,$$ $$y=1.$$

   Получаем решение $$\left(2;\,1\right).$$

10. Решим систему методом подстановки:

    $$ \begin{cases} 3x-4y=5, \\ x-3y=0. \end{cases} $$

    Из второго уравнения:

    $$x=3y.$$

    Подставим в первое:

    $$3\cdot 3y-4y=5,$$ $$5y=5,$$ $$y=1.$$

    Тогда $$x=3.$$

    Получаем решение $$\left(3;\,1\right).$$

11. Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений.

    1) $$ \begin{cases} 3x-y=5, \\ 6x-2y=10. \end{cases} $$

    Второе уравнение получается из первого умножением на $$2,$$ значит, это одна и та же прямая. Система имеет бесконечное множество решений.

    2) $$ \begin{cases} 4x-y=8, \\ 8x-y=8. \end{cases} $$

    Прямые имеют разные угловые коэффициенты, значит, они пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.

    3) $$ \begin{cases} y=3x+9, \\ 6x-2y=-27. \end{cases} $$

    Приведём второе уравнение к виду $$y=kx+l$$:

    $$6x-2y=-27$$

    $$2y=6x+27$$

    $$y=3x+\frac{27}{2}.$$

    У прямых одинаковый угловой коэффициент, но разные свободные члены, значит, они параллельны. Система не имеет решений.

Ответ

1) Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство; примеры: $$\left(0;\,-4\right),\left(-1;\,-8\right),\left(1;\,0\right).$$

2) Линейные: $$x+y=0,$$ $$2x-5y=8.$$

3) График — прямая.

4) $$k=-\frac{5}{2}.$$

5) $$a: k<0,\; b: k>0,\; c: k>0,\; d: k<0.$$

6) $$l$$ — ордината точки пересечения с осью $$y$$; точка пересечения $$\left(0;\,-10\right).$$

7) Прямые параллельны, если $$k_1=k_2.$$

8) $$\left(3;\,-4\right)$$ — решение; $$\left(-1;\,-2\right)$$ — не является решением.

9) $$\left(2;\,1\right).$$

10) $$\left(3;\,1\right).$$

11) 1) бесконечно много решений; 2) единственное решение; 3) не имеет решений.