Упр.745 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 745. Сформулируй алгоритм сравнения рациональных чисел. Сравни дроби (-3/7) и (-5/9) пятью различными способами.

Подробный ответ

Сформулируем алгоритм сравнения рациональных чисел.

Если дроби с одинаковыми знаменателями и положительными числителями, то больше та, у которой числитель больше.
Если дроби с одинаковыми знаменателями и отрицательными числителями, то больше та, у которой модуль числителя меньше.
Если у дробей разные знаки, то больше положительная дробь.
Если дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, то для положительных дробей больше та, у которой знаменатель меньше, а для отрицательных — та, у которой знаменатель больше.
Если знаменатели разные, дроби приводят к общему положительному знаменателю и сравнивают числители.

Сравним дроби $$-\frac{3}{7}$$ и $$-\frac{5}{9}$$ пятью способами.

1) Приведение к общему знаменателю:

$$ -\frac{3}{7}=-\frac{27}{63}, \qquad -\frac{5}{9}=-\frac{35}{63} $$
Так как $$-27>-35$$, то
$$ -\frac{3}{7}>-\frac{5}{9}. $$

2) Приведение к общему числителю:

$$ -\frac{3}{7}=-\frac{15}{35}, \qquad -\frac{5}{9}=-\frac{15}{27} $$
У отрицательных дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель больше. Значит,
$$ -\frac{15}{27}>-\frac{15}{35}, $$
то есть
$$ -\frac{3}{7}>-\frac{5}{9}. $$

3) Сравнение обратных чисел:

$$ \frac{1}{-\frac{3}{7}}=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{-\frac{5}{9}}=-\frac{9}{5}=-1\frac{4}{5} $$
Так как
$$ -2\frac{1}{3}<-1\frac{4}{5}, $$ то $$ -\frac{3}{7}>-\frac{5}{9}. $$

4) Сравнение разности:

$$ \left|-\frac{3}{7}\right|-\left|-\frac{5}{9}\right|=\frac{3}{7}-\frac{5}{9}=\frac{27-35}{63}=-\frac{8}{63}<0 $$ Значит, $$ \left|-\frac{3}{7}\right|<\left|-\frac{5}{9}\right|. $$ Для отрицательных чисел меньше по модулю — больше само число, поэтому $$ -\frac{3}{7}>-\frac{5}{9}. $$

5) Сравнение частного:

$$ \left(-\frac{3}{7}\right):\left(-\frac{5}{9}\right)=\frac{3}{7}\cdot\frac{9}{5}=\frac{27}{35}<1 $$ Значит, $$ \left|-\frac{3}{7}\right|<\left|-\frac{5}{9}\right|, $$ следовательно, $$ -\frac{3}{7}>-\frac{5}{9}. $$