Упр.293 Часть 3 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

а) 1/(1•2)+1/(2•3)+1/(3•4)+1/(4•5)+1/(5•6)+1/(6•7)+1/(7•8)+1/(8•9)+1/(9•10);
б) 1/(6•7)+1/(7•8)+…+1/(48•49)+1/(49•50).

Подробный ответ

Представим каждую дробь в виде разности:

$$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

а)

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 10} $$

$$ =\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\left(\frac18-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{10}\right) $$

Сокращаются все промежуточные слагаемые:

$$ =1-\frac1{10}=\frac9{10} $$

б)

$$ \frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\dots+\frac{1}{48\cdot 49}+\frac{1}{49\cdot 50} $$

$$ =\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\dots+\left(\frac1{48}-\frac1{49}\right)+\left(\frac1{49}-\frac1{50}\right) $$

После сокращения остаётся:

$$ \frac16-\frac1{50}=\frac{25-3}{150}=\frac{22}{150}=\frac{11}{75} $$