Упр.172 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 6 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 6 класс, Просвещение: 172. Найди наименьшее число, которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9.

Подробный ответ

Чтобы число делилось на все числа от 1 до 9, оно должно делиться на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Значит, оно обязательно оканчивается на 0, иначе не будет делиться одновременно на 2 и 5.

Итак, искомое число имеет вид $$2008\_0$$.

Проверим возможные варианты.

Если число пятизначное, то это $$20080$$. Но сумма цифр равна $$2+0+0+8+0=10$$, значит, число не делится на 3 и 9.

Если число шестизначное, то оно имеет вид $$2008\_0$$. Чтобы оно делилось на 9, сумма цифр должна делиться на 9:

$$2+0+0+8+\_+0=10+\_$$

Подходит только $$\_=8$$, тогда получаем число $$200880$$. Но оно не делится на 7.

Рассмотрим семизначные числа вида $$2008\_\_0$$. Чтобы число делилось на 9, сумма двух неизвестных цифр должна быть кратна 9:

$$10+\_+\_ \equiv 0 \pmod 9$$

Значит, сумма двух цифр должна быть равна $$8, 17, 26, \dots$$

Переберём подходящие варианты. Из чисел, начинающихся с $$2008$$ и оканчивающихся на $$0$$, на 4 делятся:

$$2008080,\ 2008260,\ 2008440,\ 2008620,\ 2008800.$$

Из них на 7 делится только $$2008440$$. Это число делится и на 8, так как его последние три цифры $$440$$ делятся на 8.