Упр.160 ГДЗ Никольский Потапов 6 класс (Математика)

а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 7; д) n = 8.
В каждом случае проведите все диагонали многоугольника. Объясните, почему число d всех диагоналей многоугольника вычисляется по формуле d=n(n-3)/2.

Пусть у многоугольника $$n$$ сторон. Тогда у него и $$n$$ вершин.

Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних с ней. Значит, из одной вершины выходит $$n-3$$ диагонали.

Если сложить диагонали, проведённые из всех вершин, то каждая диагональ будет посчитана дважды: один раз с каждого конца. Поэтому общее число диагоналей равно

$$d=\frac{n(n-3)}{2}.$$

Теперь найдём число диагоналей для каждого случая:

$$ \begin{aligned} \text{а) }& d=\frac{4(4-3)}{2}=\frac{4}{2}=2;\\ \text{б) }& d=\frac{5(5-3)}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=5;\\ \text{в) }& d=\frac{6(6-3)}{2}=\frac{6\cdot 3}{2}=9;\\ \text{г) }& d=\frac{7(7-3)}{2}=\frac{7\cdot 4}{2}=14;\\ \text{д) }& d=\frac{8(8-3)}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20. \end{aligned} $$

Ответ: а) 2; б) 5; в) 9; г) 14; д) 20; $$d=\frac{n(n-3)}{2}$$.