Контрольная работа 1 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

2. Разложите число 1 584 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 36 и 63; 2) 180 и 312.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 15 и 30; 2) 8 и 35; 3) 10 и 16.
5. Докажите, что числа 945 и 208 — взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 2 38* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Катя собирает фигурки лошадок. Их можно расставить поровну на 9 полках, а можно, тоже поровну, — на 15 полках. Сколько фигурок у Кати, если известно, что их больше 110, но меньше 140?

1) Проверим делимость на 5 и на 9.

На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5: 135, 240.

На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9:

135: $$1+3+5=9$$
240: $$2+4+0=6$$
594: $$5+9+4=18$$
3251: $$3+2+5+1=11$$

Значит, на 9 делятся 135, 594.

2) Разложим число 1584 на простые множители:

$$ 1584=2\cdot 792=2^2\cdot 396=2^3\cdot 198=2^4\cdot 99=2^4\cdot 3\cdot 33=2^4\cdot 3^2\cdot 11 $$

Итак, $$1584=2^4\cdot 3^2\cdot 11$$.

3) Найдём НОД.

$$ 36=2^2\cdot 3^2,\qquad 63=3^2\cdot 7 $$

Общий множитель: $$3^2$$, значит

$$ \text{НОД}(36;63)=3^2=9 $$

$$ 180=2^2\cdot 3^2\cdot 5,\qquad 312=2^3\cdot 3\cdot 13 $$

Общие множители: $$2^2\cdot 3$$, значит

$$ \text{НОД}(180;312)=2^2\cdot 3=12 $$

4) Найдём НОК.

$$ 15=3\cdot 5,\qquad 30=2\cdot 3\cdot 5 $$

$$ \text{НОК}(15;30)=30 $$

$$ 8=2^3,\qquad 35=5\cdot 7 $$

$$ \text{НОК}(8;35)=2^3\cdot 5\cdot 7=280 $$

$$ 10=2\cdot 5,\qquad 16=2^4 $$

$$ \text{НОК}(10;16)=2^4\cdot 5=80 $$

5) Разложим числа на простые множители:

$$ 945=3^3\cdot 5\cdot 7,\qquad 208=2^4\cdot 13 $$

Общих простых множителей нет, значит

$$ \text{НОД}(945;208)=1 $$

Следовательно, числа 945 и 208 — взаимно простые.

6) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

$$ 2+3+8+*=13+* $$

Нужно, чтобы $$13+*$$ делилось на 3. Подходят цифры: $$2, 5, 8$$.

Получаем числа: 2382, 2385, 2388.

7) Число фигурок делится и на 9, и на 15, значит, оно делится на их НОК.

$$ 9=3^2,\qquad 15=3\cdot 5 $$

$$ \text{НОК}(9;15)=3^2\cdot 5=45 $$

Искомое число больше 110, но меньше 140, значит подходит только

$$ 45\cdot 3=135 $$

Ответ

1) На 5: 135, 240; на 9: 135, 594.
2) $$1584=2^4\cdot 3^2\cdot 11$$.
3) $$\text{НОД}(36;63)=9$$, $$\text{НОД}(180;312)=12$$.
4) $$\text{НОК}(15;30)=30$$, $$\text{НОК}(8;35)=280$$, $$\text{НОК}(10;16)=80$$.
5) Числа 945 и 208 взаимно простые.
6) 2, 5, 8; числа 2382, 2385, 2388.
7) 135 фигурок.