Упр.636 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

а) вертикальные углы; б) смежные углы.
2) Как ты думаешь, почему ?3 и ?6 называют внутренними накрест лежащими? Почему ?1 и ?8 называют внешними накрест лежащими? Есть ли ещё внутренние и внешние накрест лежащие углы на этом черетеже?
3) Почему ?3 и ?5 называют внутренними односторонними? Почему ?1 и ?7 называют внешними односторонними? Есть ли ещё внутренние и внешние односторонние углы на этом чертеже?
4) ?1 = 135°. Найди величины углов 2, 3 и 4.
5) ?7 = 45°. Найди величины углов 5, 6 и 8.
6) Понаблюдай, как связаны между собой величины накрест лежащих углов (внутренних и внешних)? Как связаны между собой величины односторонних углов (внутренних и внешних)? Сформулируй гипотезу и проверь её для каких-нибудь двух других параллельных прямых а и b и секущей с.
Можно ли установленную закономерность распространить на общий случай? Почему?

1) Вертикальные углы — это углы, лежащие напротив друг друга при пересечении двух прямых. Поэтому:

$$\angle 1 \text{ и } \angle 4,\ \angle 2 \text{ и } \angle 3,\ \angle 5 \text{ и } \angle 8,\ \angle 6 \text{ и } \angle 7.$$

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. Значит:

$$\angle 1 \text{ и } \angle 2,\ \angle 3 \text{ и } \angle 4,\ \angle 5 \text{ и } \angle 6,\ \angle 7 \text{ и } \angle 8;$$

$$\angle 1 \text{ и } \angle 3,\ \angle 2 \text{ и } \angle 4,\ \angle 5 \text{ и } \angle 7,\ \angle 6 \text{ и } \angle 8.$$

2) $$\angle 3 \text{ и } \angle 6$$ называют внутренними накрест лежащими, потому что они лежат между прямыми $$a$$ и $$b$$ и по разные стороны от секущей $$c$$.

$$\angle 1 \text{ и } \angle 8$$ называют внешними накрест лежащими, потому что они лежат вне прямых $$a$$ и $$b$$ и по разные стороны от секущей $$c$$.

Ещё внутренние накрест лежащие углы: $$\angle 4 \text{ и } \angle 5.$$

Ещё внешние накрест лежащие углы: $$\angle 2 \text{ и } \angle 7.$$

3) $$\angle 3 \text{ и } \angle 5$$ называют внутренними односторонними, потому что они лежат между прямыми $$a$$ и $$b$$ и по одну сторону от секущей $$c$$.

$$\angle 1 \text{ и } \angle 7$$ называют внешними односторонними, потому что они лежат вне прямых $$a$$ и $$b$$ и по одну сторону от секущей $$c$$.

Ещё внутренние односторонние углы: $$\angle 4 \text{ и } \angle 6.$$

Ещё внешние односторонние углы: $$\angle 2 \text{ и } \angle 8.$$

4) Известно, что $$\angle 1 = 135^\circ.$$ Тогда

$$ \angle 2 = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ $$
как смежный с углом $$1$$.

$$ \angle 3 = \angle 2 = 45^\circ $$
как вертикальный с углом $$2$$.

$$ \angle 4 = \angle 1 = 135^\circ $$
как вертикальный с углом $$1$$.

5) Известно, что $$\angle 7 = 45^\circ.$$ Тогда

$$ \angle 5 = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ $$
как смежный с углом $$7$$.

$$ \angle 6 = \angle 7 = 45^\circ $$
как вертикальный с углом $$7$$.

$$ \angle 8 = \angle 5 = 135^\circ $$
как вертикальный с углом $$5$$.

6) Получаем:

• внутренние накрест лежащие углы равны: $$\angle 3 = \angle 6,\ \angle 4 = \angle 5$$;
• внешние накрест лежащие углы равны: $$\angle 1 = \angle 8,\ \angle 2 = \angle 7$$;
• внутренние односторонние углы в сумме дают $$180^\circ$$: $$\angle 3 + \angle 5 = 180^\circ,\ \angle 4 + \angle 6 = 180^\circ$$;
• внешние односторонние углы в сумме дают $$180^\circ$$: $$\angle 1 + \angle 7 = 180^\circ,\ \angle 2 + \angle 8 = 180^\circ$$.

Значит, накрест лежащие углы равны, а односторонние в сумме дают $$180^\circ$$. Это верно для любых параллельных прямых и секущей.

Ответ

1) Вертикальные: $$\angle 1$$ и $$\angle 4$$, $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$, $$\angle 5$$ и $$\angle 8$$, $$\angle 6$$ и $$\angle 7$$. Смежные: $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$, $$\angle 3$$ и $$\angle 4$$, $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$, $$\angle 7$$ и $$\angle 8$$; $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$, $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$, $$\angle 5$$ и $$\angle 7$$, $$\angle 6$$ и $$\angle 8$$.

2) Внутренние накрест лежащие: $$\angle 3$$ и $$\angle 6$$, $$\angle 4$$ и $$\angle 5$$. Внешние накрест лежащие: $$\angle 1$$ и $$\angle 8$$, $$\angle 2$$ и $$\angle 7$$.

3) Внутренние односторонние: $$\angle 3$$ и $$\angle 5$$, $$\angle 4$$ и $$\angle 6$$. Внешние односторонние: $$\angle 1$$ и $$\angle 7$$, $$\angle 2$$ и $$\angle 8$$.

4) $$\angle 2 = 45^\circ,\ \angle 3 = 45^\circ,\ \angle 4 = 135^\circ.$$

5) $$\angle 5 = 135^\circ,\ \angle 6 = 45^\circ,\ \angle 8 = 135^\circ.$$

6) Накрест лежащие углы равны, а односторонние в сумме дают $$180^\circ$$.