Упр.416 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

1) Проведи окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Построй центральный угол АОВ, равный 60^о. Измерь длину хорды АВ. Повтори эксперимент ещё два раза. Что ты замечаешь? Сделай вывод.
2) Исходя из полученного вывода, придумай, как построить правильный шестиугольник, пользуясь только циркулем и линейкой без делений.
3) Раздели окружность с помощью циркуля на 6 равных частей. Соедини отрезками три из отмеченных точек так, чтобы образовался правильный треугольник. Измерь углы между радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника. Сделай вывод.
4) Как, пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построить правильные четырёхугольник и пятиугольник? Выполни построения.
Объясни, почему выводы, полученные в этом исследовании, являются пока лишь гипотезами. Попробуй придумать доказательство своих гипотез для общего случая.

1) При центральном угле $$60^\circ$$ хорда, стягивающая этот угол, равна радиусу окружности. Поэтому при радиусе $$4$$ см получаем:

$$AB=4\text{ см}.$$

Если повторить опыт ещё два раза, результат будет таким же. Значит, можно сделать вывод: если центральный угол равен $$60^\circ$$, то соответствующая хорда равна радиусу окружности.

2) Тогда правильный шестиугольник можно построить так: провести окружность, затем, не меняя раствор циркуля, равный радиусу окружности, последовательно отложить на окружности шесть равных хорд. Соединив соседние точки, получим правильный шестиугольник.

3) Если окружность разделить на 6 равных частей, то центральный угол между соседними радиусами равен

$$360^\circ:6=60^\circ.$$

Если соединить через одну отмеченную точку три вершины, получится правильный треугольник. Углы между радиусами, проведёнными к его вершинам, равны

$$120^\circ.$$

Действительно, $$360^\circ:3=120^\circ$$. Значит, сумма центральных углов, соответствующих вершинам правильного $$n$$-угольника, равна $$360^\circ$$.

4) Правильный четырёхугольник можно построить так:

• построить окружность;
• провести два взаимно перпендикулярных диаметра;
• соединить концы диаметров отрезками.

Получится квадрат.

Правильный пятиугольник можно построить так:

• построить окружность;
• построить центральный угол $$360^\circ:5=72^\circ$$;
• провести хорду, соответствующую этому углу;
• циркулем отложить на окружности ещё четыре такие же хорды;
• соединить соседние точки.

Полученные выводы пока являются гипотезами, потому что они основаны на наблюдении и измерениях, но ещё не доказаны для общего случая. Для доказательства нужно рассмотреть соответствующие треугольники и использовать свойства равнобедренного и равностороннего треугольников, а также сумму углов вокруг точки $$360^\circ$$.

Ответ

$$AB=4\text{ см}.$$
Выводы: при центральном угле $$60^\circ$$ хорда равна радиусу; сумма центральных углов правильного $$n$$-угольника равна $$360^\circ$$; для правильного треугольника центральные углы равны $$120^\circ$$.