Упр.358 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

1) 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/16 < 4; 2) 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/64 < 6.

1) Сгруппируем слагаемые так:

$$ \frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\cdots+\frac1{16} $$

Сравним дроби в парах:

$$ \frac12+\frac13+\frac14<1,\qquad \frac15+\frac16+\frac17+\frac18<1,\qquad \frac19+\frac1{10}+\cdots+\frac1{16}<1. $$

Действительно, в каждой из этих групп каждое слагаемое меньше соответствующей дроби с одинаковым знаменателем, а сумма таких дробей равна 1.

Тогда

$$ 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{16}<1+1+1+1=4. $$

Значит,

$$ 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{16}<4. $$

2) Аналогично разобьём сумму на группы:

$$ \frac12+\frac13+\cdots+\frac1{64} $$

Тогда

$$ \frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18<1, $$

$$ \frac19+\frac1{10}+\cdots+\frac1{16}<1, $$

$$ \frac1{17}+\frac1{18}+\cdots+\frac1{32}<1, $$

$$ \frac1{33}+\frac1{34}+\cdots+\frac1{64}<1. $$

Кроме того,

$$ \frac12+\frac13<1,\qquad \frac14+\frac15+\frac16+\frac17<1, $$

и все остальные группы тоже дают сумму меньше 1. Поэтому вся сумма меньше 5:

$$ 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{64}<6. $$

Ответ

$$ 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{16}<4,\qquad 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{64}<6. $$