Упр.322 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

б) Пусть правильная дробь p/q несократима. Смешанное число 6 p/q перевели в неправильную дробь. Может ли полученная дробь оказаться сократимой?
в) На контрольной работе Саша выделил целую часть из дроби 328/15 и получил 21 3/15. Андрей заглянул к нему в тетрадь и, хотя писал работу другого варианта, сразу сказал, что в этом примере ошибка. Как же Андрей сообразил, что пример решен неверно?

Подробный ответ

а) Пусть неправильная дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима. Тогда при выделении целой части получаем

$$\frac{p}{q}=a+\frac{b}{q},$$

где $$p=aq+b$$, $$0<b<q$$.

Если бы дробь $$\frac{b}{q}$$ была сократимой, то числитель $$b$$ и знаменатель $$q$$ имели бы общий делитель. Тогда этот же делитель делил бы и число

$$p=aq+b,$$

то есть дробь $$\frac{p}{q}$$ тоже была бы сократимой. Это противоречит условию.

Значит, дробная часть полученного смешанного числа не может оказаться сократимой.

б) Так как дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима, то $$\gcd(p,q)=1$$.

При переводе смешанного числа $$6\frac{p}{q}$$ в неправильную дробь получаем

$$6\frac{p}{q}=\frac{6q+p}{q}.$$

Если бы эта дробь была сократимой, то числитель $$6q+p$$ и знаменатель $$q$$ имели бы общий делитель. Но любой общий делитель чисел $$6q+p$$ и $$q$$ делил бы и разность

$$\left(6q+p\right)-6q=p.$$

Тогда он делил бы и $$p$$, и $$q$$, что невозможно, так как $$\gcd(p,q)=1$$.

Следовательно, полученная дробь не может оказаться сократимой.

в) При выделении целой части из дроби $$\frac{328}{15}$$ должно получиться

$$\frac{328}{15}=21\frac{13}{15},$$

потому что

$$328=15\cdot 21+13.$$

Саша записал $$21\frac{3}{15}$$, а это неверно: тогда получилось бы

$$21\frac{3}{15}=21\frac{1}{5}=\frac{318}{15},$$

а не $$\frac{328}{15}$$.

Андрей сразу заметил ошибку, потому что при правильном выделении целой части дробная часть должна быть $$\frac{13}{15}$$, а не $$\frac{3}{15}$$.