Упр.12 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Представь, себя учеником бусирской школы и выполни контрольную работу:
1) Вычисли значения выражений:
2) Докажи, что бусирское умножение обладает переместительным свойством.
3) Выясни, обладает ли оно сочетательным свойством.
4) Проверь, выполняется ли распределительное свойство:
5) Какое число обладает свойством единицы (при обычном умножении: а · 1 = а)? А свойством нуля (а · 0 = 0)?

1) По бусирскому правилу

$$a \otimes b = ab + a + b.$$

Тогда:

$$ 2 \otimes 3 = 2 \cdot 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11 $$
$$ 4 \otimes 9 = 4 \cdot 9 + 4 + 9 = 36 + 13 = 49 $$
$$ 0 \otimes 712 = 0 \cdot 712 + 0 + 712 = 0 + 712 = 712 $$
$$ 5 \otimes 8 = 5 \cdot 8 + 5 + 8 = 40 + 13 = 53 $$
$$ 2 \otimes 8 + 3 \otimes 8 = (2 \cdot 8 + 2 + 8) + (3 \cdot 8 + 3 + 8) $$
$$ = 16 + 10 + 24 + 11 = (16 + 24) + (10 + 11) = 40 + 21 = 61 $$

2) Докажем переместительное свойство:

$$ a \otimes b = ab + a + b $$
$$ b \otimes a = ba + b + a $$

Так как $$ab = ba$$ и $$a + b = b + a$$, то

$$ a \otimes b = b \otimes a. $$

3) Проверим сочетательное свойство:

$$ a \otimes (b \otimes c) = a \otimes (bc + b + c) $$
$$ = a(bc + b + c) + a + (bc + b + c) $$
$$ = abc + ab + ac + a + bc + b + c $$

$$ (a \otimes b) \otimes c = (ab + a + b) \otimes c $$
$$ = (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c $$
$$ = abc + ac + bc + ab + a + b + c $$

Получили одно и то же выражение, значит, бусирское умножение обладает сочетательным свойством.

4) Проверим распределительное свойство:

$$ (a + b) \otimes c = (a + b)c + (a + b) + c = ac + bc + a + b + c $$

$$ a \otimes c + b \otimes c = (ac + a + c) + (bc + b + c) = ac + bc + a + b + 2c $$

Эти выражения не равны, значит, распределительное свойство не выполняется.

5) Найдём число, обладающее свойством единицы:

$$ a \otimes x = a $$
$$ ax + a + x = a $$
$$ ax + x = 0 $$
$$ x(a + 1) = 0 $$
$$ x = 0 $$

Значит, свойством единицы обладает число $$0$$.

Теперь найдём число, обладающее свойством нуля:

$$ a \otimes x = x $$
$$ ax + a + x = x $$
$$ ax + a = 0 $$
$$ a(x + 1) = 0 $$

Для натуральных чисел и нуля это возможно только при $$a = 0$$, но тогда равенство выполняется не для всех $$a$$. Значит, среди натуральных чисел и $$0$$ нет числа, обладающего свойством нуля.

Ответ

1) $$11$$; $$49$$; $$712$$; $$53$$; $$61$$.
2) Да, $$a \otimes b = b \otimes a$$.
3) Да, сочетательное свойство выполняется.
4) Нет, распределительное свойство не выполняется.
5) Свойством единицы обладает число $$0$$, свойством нуля — никакое натуральное число и $$0$$.