Упр.1006 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 1006. Даны две обыкновенные дроби, каждая из которых может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби их сумму, разность, произведение, частное? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 peterson5 part2/1006 54

Подробный ответ

Пусть обе дроби можно записать в виде конечных десятичных дробей. Тогда их знаменатели после сокращения имеют вид $$2^k \cdot 5^l$$.

Рассмотрим действия с такими дробями.

1) Сумма:

$$\frac{a}{b}+\frac{m}{n}=\frac{an+bm}{bn}$$

Знаменатель произведения $$bn$$ тоже имеет только простые множители $$2$$ и $$5$$, значит сумму всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби.

2) Разность:

$$\frac{a}{b}-\frac{m}{n}=\frac{an-bm}{bn}$$

По той же причине разность тоже всегда является конечной десятичной дробью.

3) Произведение:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{m}{n}=\frac{am}{bn}$$

Знаменатель $$bn$$ снова содержит только множители $$2$$ и $$5$$, значит произведение всегда можно записать как конечную десятичную дробь.

4) Частное:

$$\frac{a}{b}:\frac{m}{n}=\frac{a}{b}\cdot\frac{n}{m}=\frac{an}{bm}$$

Здесь в знаменателе появляется число $$m$$, которое может содержать простые множители, отличные от $$2$$ и $$5$$. Поэтому частное не всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби.