Упр.775 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 775. Докажи, что для любых натуральных чисел а и b верно равенство НОД (а, b) · НОК (а, b) = а · b. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 5 peterson5 part1/775 54

Пусть $$d=\operatorname{НОД}(a,b).$$ Тогда числа $$a$$ и $$b$$ можно записать так:

$$a=d\cdot a_1,\qquad b=d\cdot b_1,$$

где $$a_1$$ и $$b_1$$ — взаимно простые числа.

Тогда наименьшее общее кратное чисел $$a$$ и $$b$$ равно

$$\operatorname{НОК}(a,b)=d\cdot a_1\cdot b_1.$$

Действительно, число $$d\cdot a_1\cdot b_1$$ делится и на $$a=d\cdot a_1$$, и на $$b=d\cdot b_1$$, а меньшего общего кратного быть не может, так как $$a_1$$ и $$b_1$$ взаимно просты.

Теперь перемножим НОД и НОК:

$$\operatorname{НОД}(a,b)\cdot \operatorname{НОК}(a,b)=d\cdot (d\cdot a_1\cdot b_1)=d^2a_1b_1.$$

С другой стороны,

$$ab=(d\cdot a_1)(d\cdot b_1)=d^2a_1b_1.$$

Значит,

$$\operatorname{НОД}(a,b)\cdot \operatorname{НОК}(a,b)=ab.$$

Ответ

$$\operatorname{НОД}(a,b)\cdot \operatorname{НОК}(a,b)=ab.$$