Упр.377 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Петерсон 5 класс, Бином: 377. Заполнив несколько строк в таблице, найди закономерность, которой подчиняются числа, стоящие в трёх последних столбцах каждой строки. Затем заполни таблицу до конца. Можно ли утверждать, что данная закономерность справедлива для всех пар чисел? Почему?

Заполним пропуски в таблице, используя связь между произведением, НОД и НОК:

$$a \cdot b = \text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b)$$

Тогда получаем:

• для чисел $$35$$ и $$45$$: $$35 \cdot 45 = 1575$$, $$\text{НОД} = 5$$, значит $$\text{НОК} = 1575 : 5 = 315$$;
• для чисел $$16$$ и $$18$$: $$16 \cdot 18 = 288$$, $$\text{НОД} = 2$$, значит $$\text{НОК} = 288 : 2 = 144$$;
• для чисел $$735$$ и $$845$$: $$735 \cdot 845 = 620475$$, $$\text{НОД} = 5$$, значит $$\text{НОК} = 620475 : 5 = 124095$$.

Закономерность в трёх последних столбцах такая: произведение чисел равно произведению их НОД и НОК.

Эта закономерность не случайна, но утверждать её для всех пар чисел можно только после доказательства. В данном задании она подтверждается на примерах, но не доказывается для всех пар чисел.

Ответ

$$35 \cdot 45 = 1575,\ \text{НОК} = 315$$; $$16 \cdot 18 = 288,\ \text{НОК} = 144$$; $$735 \cdot 845 = 620475,\ \text{НОК} = 124095$$.

Закономерность: $$a \cdot b = \text{НОД} \cdot \text{НОК}$$.

Утверждать, что она справедлива для всех пар чисел, нельзя без доказательства.