Упр.1091 ГДЗ Мерзляк Полонский 5 класс (Математика)
1) 200 · 6/13 и 200; 2) 7/8 · 3/4 и 7/4 · 3/8; 3) 13/20 и 13/20 · 8/7.
Выскажите гипотезу: что произойдёт с числом (увеличится, уменьшится или не изменится), если его умножить: 1) на правильную дробь; 2) на неправильную дробь. Обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.
В 5 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Петя Ленивцев сделал больше всех ошибок — 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок (в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки).
1) Так как $$\frac{6}{13}$$ — правильная дробь, то при умножении на неё число уменьшается. Значит,
$$200 \cdot \frac{6}{13} < 200.$$
2) Сравним произведения:
$$\frac{7}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7\cdot 3}{8\cdot 4}, \qquad \frac{7}{4}\cdot\frac{3}{8}=\frac{7\cdot 3}{4\cdot 8}.$$
В обоих случаях получаются одинаковые числитель и знаменатель, только множители переставлены местами. Поэтому
$$\frac{7}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\cdot\frac{3}{8}.$$
3) Так как $$\frac{8}{7}$$ — неправильная дробь, то при умножении на неё число увеличивается. Значит,
$$\frac{13}{20} < \frac{13}{20}\cdot\frac{8}{7}.$$
Итак, гипотеза такая:
- при умножении на правильную дробь число уменьшается;
- при умножении на неправильную дробь число увеличивается.
Теперь рассмотрим задачу про ошибки. У Пети ошибок 14, значит остальные 29 учеников могли сделать только от 0 до 13 ошибок. Таких вариантов всего 14: $$0,1,2,\dots,13.$$
Если бы среди 29 учеников не нашлось трёх с одинаковым числом ошибок, то на каждый из 14 вариантов пришлось бы не более двух учеников. Тогда всего учеников было бы не больше
$$14\cdot 2=28.$$
Но учеников 29. Противоречие. Значит, по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок.
Ответ
1) $$200\cdot\frac{6}{13}<200$$; 2) $$\frac{7}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\cdot\frac{3}{8}$$; 3) $$\frac{13}{20}<\frac{13}{20}\cdot\frac{8}{7}$$. При умножении на правильную дробь число уменьшается, при умножении на неправильную дробь — увеличивается. В классе найдутся как минимум три ученика с одинаковым числом ошибок.
