Упр.8.20 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 5 класс (Математика)

Задача

1/(2^2 -1); 1/(2^2 -1) + 1/(4^2 -1); 1/(2^2 -1) + 1/(4^2 -1) + 1/(6^2 -1).
1) Вычислите значение каждого из выражений.
2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

Подробный ответ

1) Вычислим значения данных выражений:

$$\frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{16-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}=\frac{5+1}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

$$\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{36-1}=\frac{2}{5}+\frac{1}{35}=\frac{14+1}{35}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$$

2) По закономерности следующее выражение:

$$\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\frac{1}{8^2-1}$$

Найдём его значение:

$$\frac{3}{7}+\frac{1}{8^2-1}=\frac{3}{7}+\frac{1}{64-1}=\frac{3}{7}+\frac{1}{63}=\frac{27+1}{63}=\frac{28}{63}=\frac{4}{9}$$

Заметим закономерность: числитель каждого следующего результата увеличивается на 1, а знаменатель — на 2.