Упр.2.11 ГДЗ Дорофеев Шарыгин 5 класс (Математика)

Задача

Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца — изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе — два, за третье — четыре и так далее: за каждое следующее — вдвое больше, чем за предыдущее.
Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.
Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу.
Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:
1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?
2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3- ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4- ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку — и на сколько?
3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

Подробный ответ

Количество зёрен на клетках удваивается, значит получаем последовательность:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ 512,\ 1024,\dots$$

1) Найдём, на какой клетке число впервые станет больше заданного.

$$2^9=512,\quad 2^{10}=1024$$

Значит, впервые больше 1 тыс. будет на 11-й клетке.

$$2^{17}=131072$$

Следовательно, впервые больше 100 тыс. будет на 18-й клетке.

$$2^{20}=1048576$$

Следовательно, впервые больше 1 млн будет на 21-й клетке.

Для 26-й клетки:

$$2^{25}=33554432$$

Это больше 20 млн, значит количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн превысит.

2) Сравним суммы.

За первые две клетки:

$$1+2=3$$

За третью клетку:

$$4$$

Значит, $$3<4$$, то есть сумма за первые две клетки меньше, чем за третью.

За первые три клетки:

$$1+2+4=7$$

За четвёртую клетку:

$$8$$

Значит, $$7<8$$, то есть сумма за первые три клетки меньше, чем за четвёртую.

За первые десять клеток:

$$1+2+4+\dots+512=1023$$

За 11-ю клетку:

$$1024$$

Значит, 11-я клетка больше суммы за первые десять клеток на одно зерно.

3) Сравним числа на клетках.

На 9-й клетке:

$$256$$

На 1-й клетке:

$$1$$

Значит, на 9-й клетке зёрен в $$256$$ раз больше.

На 10-й клетке:

$$512:2=256$$

То есть на 10-й клетке зёрен в $$256$$ раз больше, чем на 2-й.

На 11-й клетке:

$$1024:4=256$$

То есть на 11-й клетке зёрен в $$256$$ раз больше, чем на 3-й.

Вообще, если сравнивать клетки, стоящие в одном и том же положении в соседних рядах, то верхняя клетка всегда содержит в $$256$$ раз больше зёрен, чем соответствующая нижняя.